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 应用数学竞赛指南
 
运行环境: Win9X/Win2000/WinXP/Win2003/
课件语言: 简体中文
课件类型: PPT - 数学
授权方式: 共享版
课件大小: 338 KB
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更新时间: 2010-11-30 06:03:27
联系方式: 全国中小学信息技术创新与实践活动” 组委会 辛文升
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  课件简介
 

应用数学竞赛指南
主要 内 容
应用数学竞赛概述
应用数学竞赛说明
       一、赛项定义
       二、竞赛目标
       三、参赛范围
       四、竞赛内容
       五、竞赛方式
应用数学竞赛样题

应用数学竞赛概述

   数学素质是公民所必须具备的一种基本素质,数学教育又是终身教育的重要方面,是终身发展的需要。通过学习,学生在面对实际问题时,能主动尝试从数学的角度寻求解决问题的策略;面对新的数学知识,主动寻找其实际背景,探索其应用价值。使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识,提高实践能力。

  《新课程标准》还指出:
   “数学课程应注重信息技术与数学课程的整合,有利于学生认识数学的本质,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。”为了更好地落实《新课程标准》的精神,及时反映这种变化,第六届NOC活动对应用数学竞赛做了较大改进。这将有助于激发学生学习数学的兴趣,有利于增强学生的数学应用意识,有利于扩展学生的视野,促进学生数学素养的提高。
一、赛项定义
  基于信息技术环境下,利用信息技术与数学知识相结合,解决现实生活中各个领域中的问题,旨在检验学生数学知识及信息技术的应用能力。
二、竞赛目标
  竞赛的目的是检验学生的数学学科素养和利用数学作为工具解决生活中实际问题的能力,从而培养学生应用数学的能力,激发学生献身数学事业的精神。
三、参赛范围
  小学组(三年级至六年级)、初中组和高中组。 
四、竞赛内容
  依据现行小学、初中、高中数学课程标准的教学思想,围绕数学中较为常见的思维模式和解题方法,使学生逐步掌握数学的思维模式和方法规律,拓展学生的视野。需要特别说明的是,应用数学体现数学来源于生活、应用于生活的新课标精神,关注学生解决实际问题能力的培养。  
四、竞赛内容
  竞赛项目有计算游戏、速算全能、记忆闯关、灌篮高手解题展示、创新见解,共5个板块。

四、竞赛内容
  (一)计算游戏
    通过设计一些带有部分计算量的小题目,经过一定的数学变换技巧而得出结果。重点考查选手的数学思维习惯,旨在发现选手数学学习的思维障碍点,同时也考查选手对基础知识的理解程度和灵活应用程度。
      以选择题、填空题等的形式出现,封闭式题目,在给定的时间内完成题目。

四、竞赛内容
  (二)速算全能
     通过设计一些可以速算、心算的题目和一些规律性、技巧性的题目,旨在考查选手的思维速度、对数学规律的发现能力以及归纳规律的逻辑能力。
     以选择题、填空题等的形式,封闭式题目,在给定的时间内完成题目。

四、竞赛内容
   (三)记忆闯关
    题目以数字、图形、图片等较为活泼的形式给出,考查选手的观察能力、记忆能力、分析能力和鉴别能力,以及借助信息技术探索、发现、探究、解决实际问题的能力. 

四、竞赛内容
    (四)灌篮高手解题展示
    利用网络信息平台,选一款益智游戏作为比赛工具,或者利用数学知识对生活中常见的一些现象进行探究并解决问题。
      开放性题目,要求选手自己搜索资料并完成问题的解答。

四、竞赛内容
    (五)创新见解
     围绕某指定选题,各选手可通过网络搜索所需材料,发表自己的新见解或探讨新方法,选题主要围绕小发明、小论文、小制作等或生活中某个数学问题来设计。

五、竞赛方式
     (一)决赛分为小学组、初中组和高中组,以个人形式参赛;
    (二)决赛分二轮进行,第一轮比赛为《计算游戏》、《速算全能》、《记忆闯关》和《灌篮高手解题展示》。第一轮比赛成绩优异者进入第二轮,参加《创新见解》比赛。

五、竞赛方式
        (三)《创新见解》中设置的问题,考生可以借助网络平台进行探索、研究,并利用Office软件(如Word)最终完成,根据要求以电子文档形式上传到指定地址,由裁判组根据论文质量和文档制作质量给予综合评分。
        (四)竞赛时间:第一轮比赛时间为90分钟;第二轮比赛时间为60分钟。

五、竞赛方式
        (五)分值分配:《计算游戏》、《速算全能》各占15分,《记忆闯关》占30分,《灌篮高手解题展示》占40分,《创新见解》占50分。满分为150分.
        (六)题型分配:第一轮比赛中各板块均为客观题,第一、二个板块各为3道题,第三、四个板块各为2道题。第二轮比赛为一道主观题。

一、计算游戏样题
一、计算游戏样题
样题一: 某市举行的中学生象棋比赛采用了循环赛制,每个选手都必须与其他选手赛一场,即若有2人参加则共赛一局;若有3人参加则共赛3局;若有4人参加则共赛6局;……并且规定:每局赢者得2分,输者得0分;如果平局,两个选手各得1分。经统计,全部选手总分为2070分,如果选手A在这次比赛中共赢得90分,试问A有无可能成为冠军?  (    )
           (A)无可能              (B)有可能  
           (C)不能确定          (D)一定能

一、计算游戏样题
解:由于每局比赛中无论分出胜负与否,两个选手的总得分都为2分,而全部选手总得分为2070分,所以比赛的总局数为1035.
    假设有x名选手参加比赛,则比赛的总局数为x(x-1)/2,于是x(x-1)/2 =1035,解得x=46.
    所以共有46名选手参加比赛,选手A共进行了45场比赛,共得了90分,这说明他在每一局比赛中都取得了胜利.因此,他一定获得了冠军.故选(D).


一、计算游戏样题
样题二:用什么曲线可以将一个边长为a的等边三角形分为面积相等的两部分,并且使曲线的长度最短?试求出这个最短长度。


一、计算游戏样题
解:如图,取定此等边三角形的一个顶点,然后以引自该顶点的两条边为轴,把这个三角形连同等分它的曲线旋转5次,则成一正六边形.在正六边形内有一条封闭曲线,把正六边形的面积等分.因为要求曲线最短,故此曲线必为圆.


一、计算游戏样题
样题三:空瓶兑换问题
     某校开运动会,打算发给2007位学生每人一瓶汽水,由于商店规定每7个空瓶可换一瓶汽水,所以不必买2007瓶汽水,但至少要买       瓶汽水呢。并请根据规律建立一个数列的模型来求解(新方法)。


一、计算游戏样题
解:因为73=343<2007<2401=74,不考虑余数,能用空瓶换三次汽水。由于每7个空瓶可换一瓶汽水,原有空瓶不一定能被7整除,第二次以后换时要考虑上一次的余数, 那么最多能用空瓶换四次汽水.(下略)


一、计算游戏样题
建立模型与新解法
    先从简单、特殊情形开始,进行有效的归纳,然后作合理的猜想,建立模型.
    第一次,按问题给出的兑换率7(设为a0=7)开始初步归纳。如果买7瓶,喝完就可兑换一次(可兑换次数n),此时可使8人(最大量为bn)喝到汽水。这属于数列部分的知识。
一、计算游戏样题


二、速算全能样题
二、速算全能样题
样题一:一道著名的逻辑推断题,是爱因斯坦在20世纪初出的谜语,他说世界上有98%的人答不出来。你能答出来吗?
1. 在一条街上,有5座房子,喷了5种颜色;
2. 每个房子里住着不同国籍的人;
3. 每个人喝着不同的饮料,抽不同品牌的香烟,养不同的宠物。
问题是:谁养鱼?
二、速算全能样题
提示:
 1、英国人住红色房子;
 2、瑞典人养狗;
 3、丹麦人喝茶;
 4、绿色房子在白色房子左面;
 5、绿色房子主人喝咖啡;
 6、抽pall mall香烟的人养鸟;
 7、黄色房子主人抽dunhill香烟;
 8、住在中间房子的人喝牛奶;
 9、挪威人住第一间房;
二、速算全能样题
 10、抽blends香烟的人住在养猫的人隔壁;
 11、养马的人住抽dunhill香烟的人隔壁;
 12、抽blue master的人喝啤酒;
 13、德国人抽prince香烟;
 14、挪威人住蓝色房子隔壁;
 15、抽blends香烟的人有一个喝水的邻居;
二、速算全能样题
答案:德国人养鱼!
全部答案:
 1号黄房子的挪威人喝水抽DUN烟养猫;
 2号蓝房子的丹麦人喝茶抽BLE烟养马;
 3号红房子的英国人喝牛奶抽PALL烟养鸟;
 4号绿房子的德人喝咖啡抽prince烟养鱼;
 5号白房子的瑞典人喝啤酒抽BLUE烟养狗。
二、速算全能样题
样题二:了解ISBN
二、速算全能样题
    从2007年1月1日起,我国沿用了近20年的《中国标准书号》进行改版升位,新的《中国标准书号》按照新的国际标准,与全世界160多个国家和地区同步由10位升至13位,并采用了新的算法来加以检验。喜欢看书的你,对书号了解多少呢?

二、速算全能样题
    ISBN中的13个数字都是有0~9这10个数字组成,其中最后一位是校验码。校验码采用由模数10的加权算法计算得出,旨在防止因ISBN号抄写不正确而导致的错误。当ISBN号是以人可识读的方式显示时,应在其前面加上字母ISBN。连字符的使用有助于提高清晰度以及加深对ISBN内部结构的理解,但连字符本身不构成ISBN号的组成部分。
    那么校验码是如何计算出来的呢?
二、速算全能样题
   先将ISBN的前12个数交替乘以1和3,把所得的12个加权之积求和,再用求得的和除以10,所得余数即为校验码(如果结果为10,则校验码为0)。下面用实例说明如何采用模数10的加权算法计算出13位ISBN号的校验码。
二、速算全能样题
样题三:计算ISBN 978-0-11-000222-?的校验码。
步骤1:计算ISBN前12位数字的加权乘积之和(见下表)。
二、速算全能样题
   步骤2:将步骤1中计算得出的ISBN前12位数字的加权乘积之和56除以10,得出余数为6.
   步骤3:以模数10减去步骤2中计算得出的余数,结果即为校验码的值(如果步骤2的余数为10,则校验码为0).
    由10-6=4得出校验码是4.
    故完整的13为ISBN号为: 978-0-11-000222-4.
    为保证ISBN号的有效性,ISBN前12位数字的加权乘积之和再加上校验码能被10整除.
三、记忆闯关样题
三、记忆闯关样题
样题一:决定了泊松一生道路的数学趣题
    泊松是法国数学家,曾任过欧洲许多国家科学院的院士,在积分理论、微分方程、概率论、级数理论等方面都有过较大的贡献。据说泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏,想不到的是,对这个数学游戏的研究竟决定了泊松一生的道路。从此,他决心要当一位数学家。由于他的刻苦努力,他终于实现了自己的愿望。


三、记忆闯关样题
三、记忆闯关样题
样题一:决定了泊松一生道路的数学趣题
    某人有12品脱啤酒一瓶(品脱是英国容量单位,1品脱=0.568升),想从中倒出6品脱。但是他没有6品脱的容器,只有一个8品脱的容器和一个5品脱的容器。怎样的倒法才能倒出6品脱啤酒?
三、记忆闯关样题
   这个数学游戏有两种不同的解法,如下面的两个表所示。
    第一种解法:

三、记忆闯关样题
第二种解法:
三、记忆闯关样题
三、记忆闯关样题
   样题二:岳飞是我国宋朝的民族英雄,曾任通泰镇抚史兼泰州知州.据说在泰州抗击金兵期间,有一次曾向将领们讲了如下一个布阵图. 


二、速算全能样题
      如图是一座城池,在城池的四周设了八个哨所,一共由24个卫士把守,按直线算,每边都有11个人,后来由于军情发生变化,连续四次给哨所增添兵力,每次增加4人,但要求在增加人员后,仍然保持每边11个人把守.请问兵力应如何调整?


二、速算全能样题
第一次增加            第二次增加
二、速算全能样题
第三次增加            第四次增加
四、灌篮高手解题展示样题
样题一:倒推转化巧拿硬币
    听说过拿硬币游戏吗?如果没听过,就先来熟悉一下拿硬币游戏的规则吧!拿硬币游戏是一个两个人玩的游戏,要求每个参加者轮流拿走若干硬币,谁拿到最后一枚硬币谁就算赢。下面我们来实际进行一次拿硬币的游戏。
      游戏1:桌上放着15枚硬币,两个游戏者轮流取走若干枚。规则是每人每次至少取1枚,至多取5枚,谁拿到最后一枚谁就赢得全部15枚硬币。
四、灌篮高手解题展示样题
   游戏开始了,你一定在想:有没有能保证你赢的办法呢?若有,这办法又是什么呢?现在你把自己想象成处于即将赢的状态,该你取硬币了,而且桌面上硬币恰好不超过5枚,这时,你可以一次拿走桌上的所有硬币,成为赢者。现在,你能不能从这样的终点状态往前推,找出一个状态,使得只要你的对手处在这一状态,那么无论他拿走几枚硬币,你都会处于理想的获胜状态?
    不难发现,如果你的对手处于桌面有6枚硬币的状态,那么无论他拿走几枚(从1枚到5枚)硬币,桌上都会剩下至少1枚至多5枚硬币,这样胜利一定属于你。也就是说,谁拿走第(15-6=)9枚硬币,谁将获胜。于是,游戏1获胜情况就与下面游戏2结果相同。

二、竞赛规则
游戏2:桌上放着9枚硬币,两个游戏者轮流取走若干个。规则是每人每次至少取1枚,至多取5枚,谁拿到最后一枚谁就赢得15枚硬币。
     由对游戏1的倒推分析,我们不难知道,游戏2的获胜情况与下面游戏3结果相同。
游戏3:桌上放着3枚硬币,两个游戏者轮流取走若干个。规则是每人每次至少取1枚,至多取5枚,谁拿到最后一枚谁就赢得15枚硬币。
           在游戏3中,你只要第一个从桌上拿走3枚硬币便可赢。可见,你要在游戏1中取胜,只要第一个取走桌面上的3枚硬币便一定能赢。
四、灌篮高手解题展示样题
样题二:小娇的母亲下岗后,开了一家皮衣美容店.一天,一位顾客送来一件皮衣,皮衣上有一个三角形孔洞,让她修补,此时店里有一块颜色、皮质与皮衣完全一样的皮子,其大小与皮衣的孔洞恰好一样,但方向相反.
四、灌篮高手解题展示样题
请你帮小娇的母亲想一想,怎样利用这块皮子(可剪开拼接,损耗不计)补满皮衣上的三角形孔洞.
五、创新见解样题
选题举例:
     电梯升降的规划策略;
     暖气排列和空调布局问题;
     市内公交车线路规划;
     超市货价排列,宽度及商品布局规划;
     快餐店在不同时段应安排几个服务员;
     雪天,雨天,雾天汽车安全行驶速度,及对交通量的影响;
     建筑避雷针位置规划;
     体育运动中的数学问题。 
五、创新见解样题
【示例】足球联赛的理论保级分数
   所谓理论保级分数,就是指一般来讲,一个参赛球队只要达到了这个分数,无论别的球队的成绩如何,都能保证自己不会降级。这个分数无疑能给那些成绩不佳的球队的一个有效的参考,帮助他们调整策略。
   请设计一种普遍适用于各足球联赛的计算理论保级分数的方法。
五、创新见解样题
     一、模型建立与分析
    要想研究理论保级分数,就必须研究每支球队在每场比赛中的成绩。通过观察各大联赛的比赛情况,我们可以知道球队的实力对比赛结果有很大的影响。比如,实力差距比较大的两支球队比赛,实力强的一方获胜的希望比较大。所以,如果讨论联赛的积分情况,就不能回避球队实力的差异问题。


1.模型假设
 (1)假设参加某一联赛的所有球队的实力数由小(实力强)到大(实大弱)可构成一个等差数列。并且认为等差数列的首项为1,公差为1.由此,一个联赛中的各个球队可以分别用一个数字代替,即,将所有n支参赛球队按实力由强到弱排列,则依次1,2,3,4,……,n.这样每场比赛就有一个对应的实力数之差。如实力数为3和7的两支球队之间的比赛,实力差是4.
 (2)假设任何不可预知的因素与比赛结果无关。即比赛结果只与两支球队的实力差和主客场因素有关。如认为球队3主场与球队8的比赛,和球队1主场与球队6的比赛没有任何区别。
 (3)假设统得出的每个实力差值对应的比胜、负、平的频率等于在理论上这些情况出现的频率。

 二、解决问题
    1.统计随机变量X的分布
    我们选取了英格兰足球超级联赛、德国足球甲级联赛、意大利足球甲级联赛、中国的甲级联赛中1999~2000赛季的详细情况,并根据这些数据统计了当实力数差分别为1,2,3,……,19时,较强的一方获胜、战平、战败的频率。
    2.计算各队的理论积分
    有了这些数据之后,我们可以根据求随机变量的数学期望的公式求出一支球队在同比自己实力弱的球队的比赛里的教学期望。
     这样一来,所有比赛的数学期望都能求出。也就是说,对于每一支球队,其所有比赛数学期望值的和也能求出(理论积分)。

四、验证模型
    以上给出了足球联赛中的理论保级分数的一种计算方法,这种方法是否理想?得出的结论能否令人满意?可以通过计算值与实际值的对比,来验证这个模型。

五、误差分析
    这个模型中可能产生误差的地方有如下几处:
    1.在模型假设中,假设各球队的实力数构成等差数列。这种假设与实际情况有一定差距。
    2.在统计概率过程中,随着n值不断增大,能找到的比赛数量越来越少。所以在n较大时,统计出的频率与理论上的频率的偏差也就比较大。
    3.在实际比赛中,很多其它因索,如天气等都有可能影响比赛的结果。这个模型并没有考虑这些因素,所以无法避免由此产生的误差。
     由于以上几种可能产生误差的原因,这个模型计算的结果与实际保级分数有大约6分以下的差距。由于一般情况下这个模型计算的结果比较合适,所以认为这样的误差在可以接受的范围内。
谢  谢!

 
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